Testez une moyenne, une variance ou une proportion

Au chapitre précédent, l’écart-type de la machine était connu. C’est rarement le cas : en pratique, on l’estime sur les mêmes données. Et l’on ne teste pas que des moyennes : la régularité d’une production (sa variance) ou une proportion (un taux de défaut, un taux de clic) comptent autant.

Ce chapitre passe en revue les tests usuels sur un seul échantillon. Bonne nouvelle : la démarche en six étapes ne change pas. Seuls la statistique de test et sa loi changent. Nous retrouvons les 10 paquets de café pesés au chapitre 4 : $\bar x = 250{,}3$ g et $\tilde s = 1{,}392$ g.

Tester une moyenne quand l’écart-type est inconnu : le test de Student

On suppose les masses i.i.d. de loi $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$, avec $\sigma$ inconnu. On veut savoir si la machine est bien centrée : $H_0 : m = 250$ contre $H_1 : m \ne 250$.

Par le théorème de Fisher (chapitre 4), en remplaçant $\sigma$ par $\tilde S_n$ :

$$T_0 = \frac{\sqrt{n}\,(\bar X_n - m_0)}{\tilde S_n} \sim \mathcal{T}_{n-1} \text{ sous } H_0$$

Les régions critiques au niveau $\alpha$ se lisent sur les quantiles de Student :

Alternative	On rejette $H_0$ si
$H_1 : m \ne m_0$	$\lvert t_0 \rvert > t_{n-1;1-\alpha/2}$
$H_1 : m < m_0$	$t_0 < -t_{n-1;1-\alpha}$
$H_1 : m > m_0$	$t_0 > t_{n-1;1-\alpha}$

Exemple

$t_0 = \sqrt{10}\,(250{,}3 - 250)/1{,}392 \approx 0{,}68$. Le seuil bilatéral à 5 % vaut $t_{9;0,975} \approx 2{,}262$. Comme $0{,}68 < 2{,}262$, on conserve $H_0$ : rien n’indique que la machine soit décentrée. La p-valeur vaut $2\,P(\mathcal{T}_9 > 0{,}68) \approx 0{,}51$.

C’est cohérent avec l’IC du chapitre 4, $[249{,}30 \ ;\ 251{,}30]$, qui contient 250.

t₀ = 0,68 tombe en plein milieu de la cloche : la moitié des échantillons donneraient un écart au moins aussi grand si la machine était bien centrée (p ≈ 0,51).

cafe <- c(251.3, 248.7, 250.9, 252.4, 249.5, 250.2, 247.8, 251.7, 250.6, 249.9)
t.test(cafe, mu = 250)                          # bilatéral : t = 0.68, p = 0.51
t.test(cafe, mu = 250, alternative = "less")    # unilatéral H1 : m < 250

from scipy import stats
cafe = [251.3, 248.7, 250.9, 252.4, 249.5, 250.2, 247.8, 251.7, 250.6, 249.9]
print(stats.ttest_1samp(cafe, popmean=250))                      # statistic 0.68, pvalue 0.51
print(stats.ttest_1samp(cafe, popmean=250, alternative="less"))

Attention

Le test de Student est exact pour des données gaussiennes, quelle que soit la taille $n$. Sur un petit échantillon non gaussien (très dissymétrique, avec des valeurs aberrantes), il peut se tromper de niveau. Regardez toujours un histogramme ou une droite de Henry (qqnorm en R) avant de l’appliquer à 10 valeurs.

Tester une variance : le test du chi-deux

La torréfaction exige une machine régulière : un écart-type d’au plus 1 g. On teste $H_0 : \sigma^2 \le 1$ contre $H_1 : \sigma^2 > 1$.

La moyenne $m$ étant inconnue, on utilise encore le théorème de Fisher :

$$T_0 = \frac{(n-1)\,\tilde S_n^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1} \text{ sous } H_0 \ (\sigma^2 = \sigma_0^2)$$

Pour l’alternative $\sigma^2 > \sigma_0^2$, on rejette si $t_0 > \chi^2_{n-1;1-\alpha}$ ; pour $\sigma^2 < \sigma_0^2$, si $t_0 < \chi^2_{n-1;\alpha}$ ; en bilatéral, si $t_0$ sort de $[\chi^2_{n-1;\alpha/2} \ ;\ \chi^2_{n-1;1-\alpha/2}]$.

Exemple

$t_0 = 9 \times 1{,}938 / 1 = 17{,}44$ (c’est la somme des carrés des écarts). Le seuil vaut $\chi^2_{9;0,95} \approx 16{,}92$. Comme $17{,}44 > 16{,}92$, on rejette $H_0$ au niveau 5 % : la machine est trop irrégulière. La p-valeur vaut $P(\chi^2_9 > 17{,}44) \approx 0{,}042$, un rejet de justesse.

Au chapitre 4, l’IC bilatéral à 95 % de $\sigma^2$, $[0{,}92 \ ;\ 6{,}46]$, contenait pourtant 1. Il n’y a pas de contradiction : ici le test est unilatéral, il concentre tout le risque de 5 % du côté des grandes variances, là où l’intervalle n’en mettait que 2,5 %.

Même statistique 17,44, deux questions différentes : le seuil unilatéral (16,92) est plus bas que la borne bilatérale (19,02), car tout le risque de 5 % est placé à droite.

Si la moyenne $m$ est connue, on n’a rien à estimer pour la centrer : on utilise $S_n'^2 = \frac{1}{n}\sum (X_i - m)^2$ et $n S_n'^2/\sigma_0^2 \sim \chi^2_n$, avec $n$ degrés de liberté au lieu de $n - 1$.

Piège

Le test du chi-deux sur une variance est très sensible à la normalité : bien plus que le test de Student sur la moyenne. Sur des données à queues épaisses, il rejette beaucoup trop souvent. Ne l’utilisez que si l’hypothèse gaussienne est crédible.

Les tests asymptotiques : quand l’échantillon est grand

Et si les données ne sont pas gaussiennes ? Pour de grands échantillons, le théorème central limite vient à la rescousse.

Une moyenne, loi quelconque

Si les $X_i$ sont i.i.d. de loi quelconque, de variance finie, alors sous $H_0 : m = m_0$ :

$$T_0 = \frac{\sqrt{n}\,(\bar X_n - m_0)}{\tilde S_n} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)$$

C’est la même statistique que celle de Student, mais on la compare aux quantiles de la loi normale. En pratique, on considère l’approximation correcte à partir de $n \ge 30$ environ (plus si la loi est très dissymétrique).

Exemple

Une plateforme de livraison annonce un délai moyen de 11 minutes. Sur 150 commandes, la durée moyenne vaut 12,4 minutes avec un écart-type de 6,1 minutes (les durées sont très dissymétriques, loin d’une loi normale). On teste $H_0 : m = 11$ contre $H_1 : m \ne 11$ :

$$t_0 = \frac{\sqrt{150}\,(12{,}4 - 11)}{6{,}1} \approx 2{,}81 > 1{,}96$$

On rejette $H_0$ au niveau 5 %, avec une p-valeur d’environ 0,005 : le délai annoncé est optimiste.

Une proportion

Soit $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de Bernoulli de paramètre $p$ (1 si l’étudiant vient à vélo). L’estimateur est la proportion observée $\hat p = \bar X_n$. Sous $H_0 : p = p_0$, le TCL donne

$$T_0 = \frac{\sqrt{n}\,(\hat p - p_0)}{\sqrt{p_0(1 - p_0)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)$$

Remarquez que la variance sous la racine est calculée avec $p_0$, la valeur de $H_0$ : sous l’hypothèse nulle, on la connaît. On demande en général $n p_0 \ge 5$ et $n(1 - p_0) \ge 5$ pour que l’approximation soit bonne.

Exemple

Une étude nationale annonce que 30 % des étudiants viennent à vélo. À Rennes, on en compte 136 sur 400, soit $\hat p = 0{,}34$. Les Rennais sont-ils plus cyclistes ? On teste $H_0 : p \le 0{,}30$ contre $H_1 : p > 0{,}30$ :

$$t_0 = \frac{\sqrt{400}\,(0{,}34 - 0{,}30)}{\sqrt{0{,}30 \times 0{,}70}} = \frac{20 \times 0{,}04}{0{,}458} \approx 1{,}75$$

Le seuil unilatéral vaut $z_{0,95} = 1{,}645$ : on rejette $H_0$ au niveau 5 % (p-valeur $\approx 0{,}040$). Mais on ne rejetterait pas au niveau 1 %.

Sur l'échelle de p̂ : si 30 % des étudiants venaient à vélo, observer 34 % ou plus sur 400 n'arriverait que 4 fois sur 100. Le seuil à 5 % (0,338) est franchi de justesse.

prop.test(136, 400, p = 0.30, alternative = "greater", correct = FALSE)  # X-squared = 1.75^2
binom.test(136, 400, p = 0.30, alternative = "greater")                  # test exact, sans TCL

import numpy as np
from scipy import stats

z0 = np.sqrt(400) * (0.34 - 0.30) / np.sqrt(0.30 * 0.70)
print(z0, stats.norm.sf(z0))                                     # 1.75 et 0.040
print(stats.binomtest(136, 400, p=0.30, alternative="greater"))   # version exacte

Attention

Par défaut, prop.test applique une correction de continuité qui rend le test un peu plus conservateur ; correct = FALSE retrouve le calcul ci-dessus. La statistique affichée est $t_0^2$, comparée à une loi $\chi^2_1$ : c’est le même test.

Récapitulatif des tests sur un échantillon

Paramètre	Conditions	Statistique sous $H_0$	Loi
Moyenne	gaussien, $\sigma$ connu	$\sqrt{n}(\bar X - m_0)/\sigma$	$\mathcal{N}(0,1)$ exacte
Moyenne	gaussien, $\sigma$ inconnu	$\sqrt{n}(\bar X - m_0)/\tilde S_n$	$\mathcal{T}_{n-1}$ exacte
Moyenne	loi quelconque, $n$ grand	$\sqrt{n}(\bar X - m_0)/\tilde S_n$	$\mathcal{N}(0,1)$ approchée
Proportion	$n$ grand	$\sqrt{n}(\hat p - p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)}$	$\mathcal{N}(0,1)$ approchée
Variance	gaussien, $m$ connue	$n S_n'^2/\sigma_0^2$	$\chi^2_n$ exacte
Variance	gaussien, $m$ inconnue	$(n-1)\tilde S_n^2/\sigma_0^2$	$\chi^2_{n-1}$ exacte

À retenir

Pour choisir un test, posez trois questions : quel paramètre (moyenne, variance, proportion) ? Quelle hypothèse sur la loi (gaussienne ou non) ? Quelle taille d’échantillon ? Sous normalité, les tests de Student et du chi-deux sont exacts ; sinon, pour $n$ grand, le TCL fournit des tests asymptotiques en loi normale.

Complément : le test d’adéquation du chi-deux

Nos supports de cours s’arrêtent à la loi du chi-deux ; ses deux tests les plus célèbres sont un complément standard, que nous présentons ici et au chapitre suivant.

Le test de proportion compare une fréquence à une valeur théorique. Le test d’adéquation du chi-deux en compare plusieurs à la fois. On répartit les $n$ observations en $k$ classes ; $O_j$ est l’effectif observé de la classe $j$, et $E_j = n p_j$ l’effectif attendu sous $H_0$ (où $p_j$ est la probabilité de la classe $j$ selon la loi testée). La statistique est

$$D = \sum_{j=1}^{k} \frac{(O_j - E_j)^2}{E_j} \approx \chi^2_{k - 1 - r} \text{ sous } H_0$$

où $r$ est le nombre de paramètres de la loi estimés sur les données ($r = 0$ si la loi est entièrement spécifiée). On rejette $H_0$ si $D > \chi^2_{k-1-r;1-\alpha}$ : le test est toujours unilatéral à droite, car seuls les grands écarts sont suspects.

Pourquoi une loi du chi-deux ? Chaque terme ressemble au carré d’un écart centré réduit, qui est approximativement normal pour de grands effectifs. On retrouve une somme de carrés de normales, comme dans la définition du chapitre 4. La contrainte $\sum O_j = n$ fait perdre un degré de liberté, et chaque paramètre estimé en fait perdre un autre.

Exemple

Un dé est-il équilibré ? Sur 120 lancers, on observe :

Face	1	2	3	4	5	6
Observé $O_j$	15	22	18	26	17	22
Attendu $E_j$	20	20	20	20	20	20

$D = \frac{25 + 4 + 4 + 36 + 9 + 4}{20} = \frac{82}{20} = 4{,}1$. Avec $k = 6$ classes et aucun paramètre estimé, on compare à $\chi^2_{5;0,95} \approx 11{,}07$. On conserve $H_0$ (p-valeur $\approx 0{,}54$) : ces écarts sont banals pour un dé équilibré.

La face 4 contribue le plus (1,80), mais la somme D = 4,1 reste au cœur de la loi du χ² à 5 ddl, bien avant le seuil 11,07 : rien de suspect.

chisq.test(c(15, 22, 18, 26, 17, 22), p = rep(1/6, 6))   # X-squared = 4.1, df = 5

from scipy import stats
print(stats.chisquare([15, 22, 18, 26, 17, 22]))       # statistic 4.1, pvalue 0.54

Piège

L’approximation du chi-deux exige des effectifs attendus suffisants, au moins 5 environ par classe. Sinon, on regroupe des classes voisines. R affiche d’ailleurs un avertissement (« l’approximation du Chi-2 est peut-être incorrecte ») dans ce cas.

En résumé

• Student : moyenne d’un échantillon gaussien, $\sigma$ inconnu, $\sqrt{n}(\bar X - m_0)/\tilde S_n \sim \mathcal{T}_{n-1}$.
• Chi-deux sur une variance : $(n-1)\tilde S_n^2/\sigma_0^2 \sim \chi^2_{n-1}$, exact sous normalité mais très sensible à cette hypothèse.
• Tests asymptotiques : pour $n$ grand, la même statistique qu’en Student, comparée à $\mathcal{N}(0,1)$ ; pour une proportion, la variance vient de $p_0$.
• Un test unilatéral et un intervalle bilatéral de même niveau peuvent donner des conclusions différentes : ils ne répondent pas à la même question.
• Adéquation du chi-deux (complément) : $\sum (O_j - E_j)^2/E_j$ comparé à $\chi^2_{k-1-r}$, avec des effectifs attendus d’au moins 5.

Exercices

Exercice · Un test de Student à la main

facile

Un fournisseur garantit une teneur moyenne en sucre de 12 g pour 100 mL. Sur 16 bouteilles, supposées gaussiennes, on mesure $\bar x = 12{,}6$ g et $\tilde s = 1{,}2$ g. Testez au niveau 5 % si la teneur moyenne diffère de 12 g ($t_{15;0,975} \approx 2{,}131$).

Voir la solution

$H_0 : m = 12$ contre $H_1 : m \ne 12$. Sous $H_0$, $T_0 = \sqrt{16}(\bar X - 12)/\tilde S \sim \mathcal{T}_{15}$.

$t_0 = 4 \times 0{,}6/1{,}2 = 2{,}0$. Comme $\lvert t_0 \rvert = 2{,}0 < 2{,}131$, on conserve $H_0$ au niveau 5 %. L’écart de 0,6 g n’est pas significatif avec 16 bouteilles (la p-valeur vaut environ 0,064). Cela ne prouve pas que la teneur vaut 12 g : l’échantillon est peut-être simplement trop petit.

En code

Python

import numpy as np
from scipy import stats

n, moyenne, s, m0 = 16, 12.6, 1.2, 12
t0 = np.sqrt(n) * (moyenne - m0) / s
seuil = stats.t.ppf(0.975, df=n - 1)
print(t0, seuil)                                  # 2.0 < 2.131 : on conserve H0
print(2 * stats.t.sf(abs(t0), df=n - 1))          # p-valeur : 0.064

R

n <- 16; moyenne <- 12.6; s <- 1.2; m0 <- 12
t0 <- sqrt(n) * (moyenne - m0) / s
t0; qt(0.975, df = n - 1)                   # 2.0 < 2.131 : on conserve H0
2 * pt(-abs(t0), df = n - 1)                # p-valeur : 0.064

Exercice · Taux de défaut d'une chaîne

moyen

Un contrat impose un taux de pièces défectueuses d’au plus 2 %. Sur 800 pièces contrôlées, on en trouve 24 défectueuses. Le contrat est-il respecté ? Testez au niveau 5 %, en vérifiant les conditions d’application.

Voir la solution

$\hat p = 24/800 = 0{,}03$. On veut montrer une violation du contrat : $H_0 : p \le 0{,}02$ contre $H_1 : p > 0{,}02$.

Conditions : $n p_0 = 16 \ge 5$ et $n(1-p_0) = 784 \ge 5$, l’approximation normale est acceptable.

$$t_0 = \frac{\sqrt{800}\,(0{,}03 - 0{,}02)}{\sqrt{0{,}02 \times 0{,}98}} \approx \frac{28{,}28 \times 0{,}01}{0{,}140} \approx 2{,}02$$

Comme $2{,}02 > z_{0,95} = 1{,}645$, on rejette $H_0$ : le taux de défaut dépasse significativement 2 % (p-valeur $\approx 0{,}022$).

En code

Python

import numpy as np
from scipy import stats

n, defauts, p0 = 800, 24, 0.02
print(n * p0, n * (1 - p0))                        # 16 et 784 : conditions remplies
p_hat = defauts / n
t0 = np.sqrt(n) * (p_hat - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0))
print(t0, stats.norm.sf(t0))                       # 2.02 et p = 0.022 : on rejette H0
print(stats.binomtest(defauts, n, p0, alternative="greater").pvalue)   # test exact : 0.035

R

n <- 800; defauts <- 24; p0 <- 0.02
c(n * p0, n * (1 - p0))                     # 16 et 784 : conditions remplies
p_hat <- defauts / n
t0 <- sqrt(n) * (p_hat - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0))
t0; 1 - pnorm(t0)                           # 2.02 et p = 0.022 : on rejette H0
prop.test(defauts, n, p = p0, alternative = "greater", correct = FALSE)$p.value   # 0.022
binom.test(defauts, n, p = p0, alternative = "greater")$p.value                   # test exact : 0.035

Exercice · Adéquation à une loi de Poisson

difficile

On compte le nombre d’accidents par semaine sur un carrefour pendant 100 semaines : 0 accident (40 semaines), 1 (35), 2 (18), 3 ou plus (7). On veut tester si le nombre d’accidents suit une loi de Poisson. Le paramètre, estimé par maximum de vraisemblance sur les relevés détaillés, vaut $\hat\theta = 0{,}95$. Les probabilités de Poisson correspondantes sont 0,387 ; 0,367 ; 0,175 et 0,071 (la dernière regroupe « 3 ou plus »). Réalisez le test au niveau 5 %.

Voir la solution

Effectifs attendus : $E = 100 \times p$, soit environ 38,67 ; 36,74 ; 17,45 et 7,13, tous supérieurs à 5.

$$D = \frac{(40 - 38{,}67)^2}{38{,}67} + \frac{(35 - 36{,}74)^2}{36{,}74} + \frac{(18 - 17{,}45)^2}{17{,}45} + \frac{(7 - 7{,}13)^2}{7{,}13} \approx 0{,}045 + 0{,}082 + 0{,}017 + 0{,}003 \approx 0{,}15$$

Degrés de liberté : $k - 1 - r = 4 - 1 - 1 = 2$, car on a estimé un paramètre ($\theta$). Le seuil vaut $\chi^2_{2;0,95} \approx 5{,}99$. On conserve $H_0$ : le modèle de Poisson est compatible avec les données.

En code

Python

import numpy as np
from scipy import stats

observe = np.array([40, 35, 18, 7])                # 0, 1, 2, 3 ou plus
theta = 0.95
p = stats.poisson.pmf([0, 1, 2], theta)
p = np.append(p, 1 - p.sum())                      # P(X >= 3)
attendu = 100 * p
print(attendu.round(2))                            # [38.67 36.74 17.45  7.13]

# ddof=1 : un paramètre estimé, donc 4 - 1 - 1 = 2 degrés de liberté
D, p_valeur = stats.chisquare(observe, attendu, ddof=1)
print(D, p_valeur, stats.chi2.ppf(0.95, 2))        # 0.147  0.93  5.99 : on conserve H0

R

observe <- c(40, 35, 18, 7)                 # 0, 1, 2, 3 ou plus
theta <- 0.95
p <- dpois(0:2, theta)
p <- c(p, 1 - sum(p))                       # P(X >= 3)
attendu <- 100 * p
round(attendu, 2)                           # 38.67 36.74 17.45 7.13

D <- sum((observe - attendu)^2 / attendu)
ddl <- 4 - 1 - 1                            # un paramètre estimé
D; 1 - pchisq(D, ddl); qchisq(0.95, ddl)    # 0.147  0.93  5.99 : on conserve H0