Probabilités

Un test de dépistage positif signifie-t-il qu’on est malade ? Combien de requêtes par seconde un serveur doit-il pouvoir absorber ? Pourquoi la moyenne de dix mesures est-elle plus fiable qu’une seule, et de combien ? Toutes ces questions ont la même réponse de fond : il faut modéliser le hasard, puis calculer avec lui. Les probabilités fournissent ce langage, et elles sont la base de toute la statistique, de l’analyse de données et de l’apprentissage automatique.

Ce cours part des fondations (univers, événements, probabilité conditionnelle) et construit pas à pas les outils du data scientist : variables et vecteurs aléatoires, lois usuelles, espérance, variance et covariance, puis les deux grands théorèmes limites qui relient les probabilités aux données. Il se termine par une initiation à l’estimation et aux tests. Chaque notion est illustrée par un exemple concret (des dés, un test médical, des capteurs, un serveur web, des batteries de drone) et vérifiée en R, par le calcul ou par la simulation.

Objectifs pédagogiques

À la fin de ce cours, vous serez capable de :

• Modéliser une expérience aléatoire par un espace probabilisé et calculer des probabilités par dénombrement, conditionnement et indépendance.
• Appliquer la formule de Bayes pour mettre à jour une probabilité, et éviter l’oubli du taux de base.
• Reconnaître les lois usuelles (binomiale, Poisson, exponentielle, normale…) et calculer espérances, variances et covariances.
• Manipuler des vecteurs aléatoires, leur matrice de covariance et les vecteurs gaussiens.
• Expliquer la loi des grands nombres et le théorème central limite, et les utiliser pour simuler (Monte-Carlo) et approcher des lois.
• Construire un intervalle de confiance, mener un test et interpréter correctement une p-valeur, avec R.

Prérequis

• Le calcul d’intégrales simples et de sommes, pour les variables continues.
• Un peu d’algèbre linéaire (produit matriciel, transposée) pour le chapitre 6.
• Aucune connaissance préalable de R n’est nécessaire : les blocs de code sont courts et commentés. Une pratique de Python aide à les transposer.

Ce cours sert de base aux cours de Statistiques, de Modèles stochastiques et d’Apprentissage automatique.

Le plan du cours

Partie 1 · Modéliser le hasard

1. Modélisez une expérience aléatoire : univers, événements, axiomes de Kolmogorov, dénombrement et simulation.
2. Raisonnez sous condition avec la formule de Bayes : probabilité conditionnelle, probabilités totales, Bayes et le paradoxe du test de dépistage.
3. Reconnaissez des événements indépendants : indépendance deux à deux et mutuelle, fiabilité de capteurs en série et en parallèle.

Partie 2 · Variables et vecteurs aléatoires

4. Décrivez une variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance, lois de Bernoulli, binomiale, géométrique et de Poisson.
5. Passez aux variables aléatoires continues : densité, lois uniforme, exponentielle et normale, quantiles.
6. Étudiez plusieurs variables à la fois : lois conjointes et marginales, covariance, matrice de covariance et vecteurs gaussiens.

Partie 3 · Des probabilités à la statistique

7. Comprenez la loi des grands nombres : moyenne empirique, Bienaymé-Tchebychev, loi de Cauchy et méthode de Monte-Carlo.
8. Maîtrisez le théorème central limite : convergence vers la normale, approximation de la binomiale et limites pratiques.
9. Estimez un paramètre avec un intervalle de confiance : biais, variance corrigée, lois de Student et du khi-deux, proportions.
10. Testez une hypothèse : risques d’erreur, p-valeur, comparaison de moyennes et puissance.

Chaque chapitre se termine par un résumé et des exercices corrigés, de difficulté croissante.

D’où vient ce cours

Ce cours reprend l’enseignement de probabilités suivi en 3e année du cycle ingénieur de l’INSA Rennes, en spécialité informatique (premier semestre) : une dizaine d’heures de cours et autant de travaux pratiques sous R. Le module commençait par des rappels (espace probabilisé, conditionnement, Bayes, indépendance, variables aléatoires et lois usuelles), puis traitait la loi des grands nombres et le théorème central limite, les intervalles de confiance, les tests sur les moyennes et les vecteurs aléatoires. Les travaux pratiques consistaient à manipuler les fonctions de lois de R (dnorm, pnorm, rexp…), à simuler et à comparer histogrammes et densités ; les codes de ce cours s’en inspirent, mais aucun résultat chiffré n’est repris de ces séances.

Le texte, les exemples et les exercices ont été entièrement réécrits. Certaines notions ont été complétées à partir de sources standard (manuels de probabilités et de statistique pour l’ingénieur, documentation de R) : le dénombrement (arrangements, combinaisons), la fiabilité des systèmes, la loi géométrique, l’inégalité de Markov, la correction de continuité, l’intervalle de Wald et le calcul de puissance avec power.t.test. Le test du khi-deux, annoncé dans le programme du module, n’est pas traité ici : il est abordé dans le cours de Statistiques.