Statistiques

Une nouvelle version de votre site se charge-t-elle vraiment plus vite, ou avez-vous eu de la chance sur les dix visites mesurées ? Combien de personnes faut-il interroger pour connaître la part de cyclistes à 2 points près ? De combien le loyer augmente-t-il avec chaque mètre carré, à distance du centre égale ? Ces questions ont un point commun : on ne voit qu’un échantillon, et l’on veut conclure sur toute une population, en sachant à quel point on peut se tromper.

La statistique inférentielle fournit ces outils. Ce cours part de la description d’un échantillon, construit et juge des estimateurs, encadre les paramètres par des intervalles de confiance, formalise la décision par les tests d’hypothèses, puis termine par le modèle linéaire : régression simple, régression multiple et analyse de la variance. Chaque notion est illustrée par un exemple suivi du début à la fin du chapitre, calculé à la main puis en R et en Python.

Objectifs pédagogiques

À la fin de ce cours, vous serez capable de :

• Décrire un échantillon et distinguer la statistique descriptive de la statistique inférentielle.
• Construire un estimateur par la méthode des moments ou le maximum de vraisemblance, et juger sa qualité (biais, erreur quadratique moyenne, convergence).
• Calculer et interpréter un intervalle de confiance pour une moyenne, une variance ou une proportion.
• Mener un test d’hypothèses de bout en bout (hypothèses, statistique, région critique, p-valeur, puissance) et choisir le test adapté pour un ou deux échantillons.
• Ajuster, tester et valider un modèle de régression linéaire simple ou multiple, et sélectionner ses variables.
• Comparer plusieurs groupes par une analyse de la variance, avec des comparaisons multiples corrigées.

Prérequis

• Les bases du cours de probabilités : variables aléatoires, espérance et variance, loi normale, loi de Bernoulli, loi de Poisson, loi exponentielle, indépendance.
• Un peu de calcul : dérivées, intégrales simples, logarithme et exponentielle.
• Pour les chapitres 8 et 9, les bases du calcul matriciel (produit, transposée, inverse).
• Une première pratique de R ou de Python (NumPy, pandas). Les exemples Python utilisent scipy.stats et, pour la régression, statsmodels.

Ce cours sert à son tour de socle au cours d’apprentissage automatique : compromis biais-variance, maximum de vraisemblance et régression y reviennent constamment.

Le plan du cours

Partie 1 · Estimer à partir d’un échantillon

1. Décrivez un échantillon et passez à la population : vocabulaire, moyenne, médiane, variance corrigée, quartiles, boîtes à moustaches, et passage à l’inférence.
2. Jugez la qualité d’un estimateur : biais, erreur quadratique moyenne, consistance, théorème central limite et delta-méthode.
3. Construisez un estimateur par les moments ou le maximum de vraisemblance : les deux méthodes, l’invariance et l’information de Fisher.
4. Encadrez un paramètre par un intervalle de confiance : lois du chi-deux, de Student et de Fisher, et intervalles pour une moyenne, une variance, une proportion.

Partie 2 · Tester des hypothèses

5. Comprenez la logique d’un test statistique : hypothèses, erreurs de première et seconde espèce, p-valeur et puissance.
6. Testez une moyenne, une variance ou une proportion : test de Student, test du chi-deux sur une variance, tests asymptotiques et test d’adéquation.
7. Comparez deux échantillons : tests de Fisher, de Student et de Welch, deux proportions, et test d’indépendance du chi-deux.

Partie 3 · Modéliser avec le modèle linéaire

8. Ajustez une régression linéaire simple : moindres carrés, tests, R², intervalles de prévision et analyse des résidus.
9. Passez à la régression linéaire multiple : écriture matricielle, tests de Student et de Fisher, R² ajusté, AIC et sélection avec step.
10. Comparez plusieurs groupes avec l’analyse de la variance : ANOVA à un facteur, comparaisons avec Bonferroni et aperçu de l’ANOVA à deux facteurs.

Chaque chapitre se termine par un résumé et des exercices corrigés, de difficulté croissante.

D’où vient ce cours

Ce cours reprend l’enseignement de statistique suivi en 3e année du cycle ingénieur de l’INSA Rennes, en spécialité informatique (second semestre) : cours magistraux sur l’estimation ponctuelle, les tests statistiques et la loi du chi-deux, puis sur la régression linéaire simple et multiple et l’analyse de la variance, et quatre séances de travaux pratiques en R (prise en main de R, régression simple, régression multiple avec lm et step, analyse de la variance avec anova et emmeans). Les passages marqués « en TP » décrivent ces séances ; aucun résultat chiffré ne leur est attribué, faute d’avoir conservé leurs sorties.

Le texte, les exemples, les jeux de données et les exercices ont été entièrement réécrits : les données des exemples (trottinettes, paquets de café, loyers, temps de trajet…) sont fictives, et tous les calculs ont été vérifiés numériquement. Certaines notions ont été complétées à partir de sources standard du domaine (manuels de statistique inférentielle, documentation de R, de SciPy et de statsmodels) : les tests d’adéquation et d’indépendance du chi-deux (le cours n’étudiait que la loi du chi-deux et ses propriétés), les intervalles de confiance hors régression, la borne de Cramér-Rao, le test de Welch, les données appariées, la comparaison de deux proportions et le calcul de la puissance.