Raisonnez sous condition avec la formule de Bayes

Un test de dépistage détecte 95 % des malades. Votre résultat est positif. Quelle est la probabilité que vous soyez malade ? Si vous avez répondu « 95 % », vous êtes en bonne compagnie : c’est la réponse que donnent aussi beaucoup de médecins interrogés… et elle est fausse, souvent de très loin.

Dans ce chapitre, vous allez apprendre à raisonner quand une information nouvelle arrive : c’est la probabilité conditionnelle, et son outil phare, la formule de Bayes. Le fil rouge sera ce test de dépistage, que nous suivrons jusqu’au bout.

Le fil rouge : un test de dépistage

Une maladie touche 2 % d’une population. Un laboratoire propose un test dont on connaît deux caractéristiques :

• sa sensibilité : parmi les malades, 95 % ont un test positif ;
• sa spécificité : parmi les personnes saines, 90 % ont un test négatif (donc 10 % de faux positifs).

Avant tout formalisme, faisons le calcul « en effectifs » sur 10 000 personnes :

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	190	10	200
Saines	980	8 820	9 800
Total	1 170	8 830	10 000

Sur les 1 170 tests positifs, seuls 190 concernent des malades : $190 / 1\,170 \approx 16\,\%$. Les faux positifs, qui ne touchent pourtant que 10 % des personnes saines, sont bien plus nombreux que les vrais positifs, simplement parce que les personnes saines sont 49 fois plus nombreuses. Retenez cette image, elle résume tout le chapitre.

Les malades n'occupent que deux lignes de la grille, alors que les faux positifs en remplissent près de dix. Parmi les positifs, les malades ne sont donc que 16 %.

La probabilité conditionnelle

Savoir que le test est positif revient à restreindre l’univers : on ne regarde plus les 10 000 personnes, mais seulement les 1 170 positives. La probabilité conditionnelle formalise cette restriction.

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

• $A \cap B$ est l’événement « $A$ et $B$ » ;
• $P(B)$ sert de normalisation : on divise par la « taille » du nouvel univers $B$, pour que $P(B \mid B) = 1$.

Pour $B$ fixé, l’application $A \mapsto P(A \mid B)$ est une probabilité à part entière : elle vérifie les axiomes de Kolmogorov. Toutes les règles du chapitre 1 restent donc valables « sachant $B$ », par exemple $P(\bar{A} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$.

En retournant la définition, on obtient la formule des probabilités composées, qui sert à calculer la probabilité d’un « et » :

$$P(A \cap B) = P(B) \, P(A \mid B) = P(A) \, P(B \mid A)$$

Elle se généralise en chaîne : $P(A \cap B \cap C) = P(A) \, P(B \mid A) \, P(C \mid A \cap B)$. C’est exactement ce que vous faites en multipliant les probabilités le long d’une branche d’arbre.

Attention

« Sachant » ne signifie pas « après ». $P(A \mid B)$ peut concerner un événement $A$ antérieur à $B$ : la probabilité d’être malade (état qui précède le test) sachant que le test est positif. La probabilité conditionnelle décrit une information, pas un ordre chronologique.

Les probabilités totales

Pour calculer $P(\text{positif})$, on découpe la population en deux groupes, malades et saines, et on additionne les contributions de chaque groupe. C’est un cas particulier d’un résultat général.

Une famille d’événements $A_1, \dots, A_n$ forme une partition (ou système complet) de $\Omega$ s’ils sont deux à deux incompatibles et si leur union est $\Omega$ : chaque issue tombe dans exactement un $A_i$. Alors, pour tout événement $B$ :

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \, P(B \mid A_i)$$

Autrement dit, $P(B)$ est une moyenne pondérée des probabilités conditionnelles $P(B \mid A_i)$, les poids étant les probabilités $P(A_i)$ de chaque groupe.

Le schéma ci-dessous montre l’arbre du test. Chaque chemin multiplie les probabilités de ses branches (probabilités composées), et $P(+)$ additionne les deux chemins qui finissent par « positif » (probabilités totales).

Exemple

Avec $M$ = « malade » et $+$ = « test positif », les événements $M$ et $\bar{M}$ forment une partition. Donc :

$$P(+) = P(M) \, P(+ \mid M) + P(\bar{M}) \, P(+ \mid \bar{M}) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$$

Environ 11,7 % des personnes testées reçoivent un résultat positif, ce qui correspond aux 1 170 positifs sur 10 000 du tableau.

La formule de Bayes

Nous connaissons $P(+ \mid M)$ (la sensibilité), mais c’est $P(M \mid +)$ qui intéresse le patient. La formule de Bayes permet justement de retourner le conditionnement. Il suffit d’écrire $P(M \cap +)$ de deux façons avec les probabilités composées :

$$P(M \mid +) = \frac{P(+ \mid M) \, P(M)}{P(+)}$$

Et comme le dénominateur se calcule par les probabilités totales, on obtient la forme générale : pour une partition $A_1, \dots, A_n$ et un événement $B$ de probabilité non nulle,

$$P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i) \, P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B \mid A_j) \, P(A_j)}$$

Le vocabulaire associé est important, car vous le retrouverez partout en apprentissage automatique :

• $P(A_i)$ est la probabilité a priori (prior) : ce qu’on croit avant l’observation ;
• $P(B \mid A_i)$ est la vraisemblance (likelihood) : la probabilité de l’observation si $A_i$ est vrai ;
• $P(A_i \mid B)$ est la probabilité a posteriori (posterior) : ce qu’on croit après l’observation.

Exemple

Pour notre test :

$$P(M \mid +) = \frac{0{,}95 \times 0{,}02}{0{,}117} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162$$

Un test positif fait passer la probabilité d’être malade de 2 % (a priori) à environ 16 % (a posteriori). C’est huit fois plus, mais on reste loin des 95 % de l’intuition. À l’inverse, un test négatif rassure beaucoup : $P(M \mid -) = \dfrac{0{,}05 \times 0{,}02}{0{,}883} \approx 0{,}001$.

Piège

Ne confondez jamais $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$. $P(+ \mid M) = 0{,}95$, mais $P(M \mid +) \approx 0{,}16$. L’erreur, appelée oubli du taux de base (base rate fallacy), consiste à ignorer l’a priori $P(M)$ : quand la maladie est rare, même un bon test produit surtout des faux positifs.

Enchaîner les observations

Que faire après un test positif ? On en refait un. Si les deux tests se trompent indépendamment l’un de l’autre (une hypothèse à discuter avec le laboratoire), l’a posteriori du premier test devient l’a priori du second :

$$P(M \mid +, +) = \frac{0{,}95 \times 0{,}162}{0{,}95 \times 0{,}162 + 0{,}10 \times 0{,}838} \approx 0{,}648$$

Deux tests positifs portent la probabilité à 65 % environ. C’est le cœur du raisonnement bayésien : chaque observation met à jour la croyance précédente. Le cours d’Apprentissage automatique en tire un classifieur complet, le Bayes naïf.

Chaque test positif fait monter d'une marche : l'a posteriori du premier test (0,162) sert d'a priori au second (0,648). Partie de 2 %, la probabilité reste faible après un seul test.

On vérifie ces calculs en quelques lignes de R, et même par simulation :

prevalence <- 0.02; sensibilite <- 0.95; specificite <- 0.90

bayes <- function(prior) {
  vrais_pos <- sensibilite * prior
  faux_pos  <- (1 - specificite) * (1 - prior)
  vrais_pos / (vrais_pos + faux_pos)          # P(M | +)
}
bayes(prevalence)                             # 0.162
bayes(bayes(prevalence))                      # 0.648 après deux tests positifs

# Vérification par simulation sur un million de personnes
set.seed(3)
n <- 1e6
malade  <- runif(n) < prevalence
positif <- ifelse(malade, runif(n) < sensibilite, runif(n) < 1 - specificite)
mean(malade[positif])                         # proportion de malades parmi les positifs, proche de 0.162

La dernière ligne traduit exactement la définition : parmi les personnes positives (malade[positif]), quelle proportion est malade ?

À retenir

La formule de Bayes retourne un conditionnement : $P(A \mid B) = P(B \mid A) \, P(A) / P(B)$, où $P(B)$ se calcule par les probabilités totales. L’a posteriori dépend autant de l’a priori que de la qualité de l’observation.

En entretien

« Un test sensible à 95 % peut donner une majorité de faux positifs si la maladie est rare, parce que les personnes saines sont beaucoup plus nombreuses. Bayes combine le taux de base et la qualité du test : avec 2 % de prévalence et 10 % de faux positifs, un positif ne signifie qu’environ 16 % de risque. »

En résumé

• La probabilité conditionnelle $P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ restreint l’univers aux issues où $B$ est réalisé ; c’est une information, pas un ordre dans le temps.
• Les probabilités composées $P(A \cap B) = P(A) \, P(B \mid A)$ multiplient les probabilités le long d’une branche d’arbre.
• Les probabilités totales $P(B) = \sum_i P(A_i) \, P(B \mid A_i)$ additionnent les branches d’une partition.
• La formule de Bayes donne l’a posteriori $P(A_i \mid B)$ à partir de l’a priori $P(A_i)$ et de la vraisemblance $P(B \mid A_i)$.
• Ignorer l’a priori (l’oubli du taux de base) conduit à surestimer énormément $P(\text{malade} \mid +)$ pour une maladie rare.
• Raisonner en effectifs (sur 10 000 personnes) est le moyen le plus sûr de vérifier un calcul.

Exercices

Exercice · Conditionner sur un dé

facile

On lance deux dés équilibrés. Sachant que la somme vaut 8, quelle est la probabilité que l’un des dés affiche un 6 ? Comparez avec la probabilité, sans condition, qu’au moins un dé affiche un 6.

Voir la solution

Les couples de somme 8 sont $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ : 5 couples équiprobables. Deux d’entre eux contiennent un 6. Donc :

$$P(\text{un 6} \mid \text{somme} = 8) = \frac{P(\text{un 6 et somme} = 8)}{P(\text{somme} = 8)} = \frac{2/36}{5/36} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Sans condition, $P(\text{au moins un 6}) = 11/36 \approx 0{,}306$ (chapitre 1). L’information « la somme vaut 8 » augmente donc la probabilité d’avoir un 6.

En code

Python

import numpy as np

# Les 36 couples équiprobables
d1, d2 = np.meshgrid(np.arange(1, 7), np.arange(1, 7))
somme_8 = (d1 + d2 == 8)
un_six = (d1 == 6) | (d2 == 6)

# P(un 6 | somme = 8) = P(un 6 et somme = 8) / P(somme = 8)
print(np.sum(un_six & somme_8) / np.sum(somme_8))   # 0.4
print(np.mean(un_six))                               # 0.3056  (11/36, sans condition)

R

# Les 36 couples équiprobables
couples <- expand.grid(d1 = 1:6, d2 = 1:6)
somme_8 <- couples$d1 + couples$d2 == 8
un_six  <- couples$d1 == 6 | couples$d2 == 6

# Conditionner = ne garder que les issues où la somme vaut 8
mean(un_six[somme_8])   # 0.4
mean(un_six)            # 0.3056  (11/36, sans condition)

Exercice · Un filtre anti-spam

moyen

Dans une boîte de réception, 40 % des courriels sont des spams. Le mot « gratuit » apparaît dans 25 % des spams et dans 2 % des courriels légitimes. Un courriel contient « gratuit » : quelle est la probabilité que ce soit un spam ? Et s’il ne le contient pas ?

Voir la solution

Notons $S$ = « spam » et $G$ = « contient gratuit ». Par les probabilités totales :

$$P(G) = 0{,}4 \times 0{,}25 + 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}1 + 0{,}012 = 0{,}112$$

Par Bayes : $P(S \mid G) = 0{,}1 / 0{,}112 \approx 0{,}893$.

Sans le mot : $P(\bar{G}) = 1 - 0{,}112 = 0{,}888$ et $P(S \cap \bar{G}) = 0{,}4 \times 0{,}75 = 0{,}3$, donc $P(S \mid \bar{G}) = 0{,}3 / 0{,}888 \approx 0{,}338$.

Le mot fait passer la probabilité de spam de 40 % à 89 % ; son absence ne la fait descendre qu’à 34 %, car la plupart des spams ne contiennent pas ce mot. Un vrai filtre combine des centaines de mots : c’est le principe du Bayes naïf.

En code

Python

p_spam = 0.40
p_g_spam, p_g_legit = 0.25, 0.02     # P(G | S) et P(G | non S)

# Probabilités totales, puis Bayes
p_g = p_spam * p_g_spam + (1 - p_spam) * p_g_legit
print(p_g)                                        # 0.112
print(p_spam * p_g_spam / p_g)                    # 0.8929  P(S | G)
print(p_spam * (1 - p_g_spam) / (1 - p_g))        # 0.3378  P(S | non G)

R

p_spam <- 0.40
p_g_spam <- 0.25; p_g_legit <- 0.02   # P(G | S) et P(G | non S)

# Probabilités totales, puis Bayes
p_g <- p_spam * p_g_spam + (1 - p_spam) * p_g_legit
p_g                                   # 0.112
p_spam * p_g_spam / p_g               # 0.8929  P(S | G)
p_spam * (1 - p_g_spam) / (1 - p_g)   # 0.3378  P(S | non G)

Exercice · Trois portes

difficile

Dans un jeu télévisé, une voiture est cachée derrière l’une de trois portes, au hasard. Vous choisissez la porte 1. L’animateur, qui sait où est la voiture, ouvre toujours une porte non choisie qui cache une chèvre ; s’il a le choix, il tire au sort. Il ouvre la porte 3. Avez-vous intérêt à changer pour la porte 2 ? Justifiez avec la formule de Bayes, puis écrivez une simulation R.

Voir la solution

Notons $V_i$ = « la voiture est derrière la porte $i$ », avec $P(V_i) = 1/3$, et $O_3$ = « l’animateur ouvre la porte 3 ». Les vraisemblances sont :

• si $V_1$ : il peut ouvrir 2 ou 3, il tire au sort, donc $P(O_3 \mid V_1) = 1/2$ ;
• si $V_2$ : il est obligé d’ouvrir la 3, donc $P(O_3 \mid V_2) = 1$ ;
• si $V_3$ : il n’ouvre jamais la porte de la voiture, donc $P(O_3 \mid V_3) = 0$.

Par les probabilités totales, $P(O_3) = \tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{2} + 1 + 0\right) = \tfrac{1}{2}$. Par Bayes :

$$P(V_1 \mid O_3) = \frac{\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{3}, \qquad P(V_2 \mid O_3) = \frac{1 \times \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{2}{3}$$

Il faut changer : on gagne alors deux fois sur trois. L’intuition « une chance sur deux » oublie que le choix de l’animateur dépend de la position de la voiture, donc apporte de l’information.

En code

Python

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
n = 100_000
gagne_en_changeant = 0
for _ in range(n):
    voiture = rng.integers(1, 4)
    choix = 1
    # portes que l'animateur peut ouvrir : ni la nôtre, ni celle de la voiture
    possibles = [p for p in (1, 2, 3) if p not in (choix, voiture)]
    ouverte = rng.choice(possibles)          # tirage au sort s'il y en a deux
    nouveau = ({1, 2, 3} - {choix, ouverte}).pop()   # on change de porte
    gagne_en_changeant += (nouveau == voiture)

print(gagne_en_changeant / n)   # 0.6670, proche de 2/3

R

set.seed(7)
un_jeu <- function() {
  voiture <- sample(1:3, 1)
  choix <- 1
  possibles <- setdiff(1:3, c(choix, voiture))       # portes que l'animateur peut ouvrir
  ouverte <- possibles[sample(length(possibles), 1)] # tirage au sort s'il y en a deux
  nouveau <- setdiff(1:3, c(choix, ouverte))         # on change de porte
  nouveau == voiture
}
mean(replicate(100000, un_jeu()))                    # 0.6658, proche de 2/3

(On passe par possibles[sample(length(possibles), 1)] car sample(x, 1) se comporte différemment quand x est un seul nombre : il tirerait alors dans 1:x.)